- 상위 항목 : 오심
1 개요
오심과 관련된 여러 정리들 과 더불어 올림피아드에 나오는 정리들 을 여기에 정리한다. 사실 경시를 제외하곤 쓰이는 데가 없다 카더라
모든 정리의 기호는 삼각형 [math]\triangle ABC[/math]의 외심 [math]O[/math], 내심 [math]I[/math], 무게중심 [math]G[/math], 수심 [math]H[/math], 방심 [math]I_{A}[/math]를 따른다.
[math]a=\overline{BC}[/math], [math]b=\overline{CA}[/math], [math]c=\overline{AB}[/math]으로 두고, [math]S[/math], [math]r[/math], [math]R[/math], [math]r_{A}[/math]를 각각 도형의 면적, 내접원의 반지름, 외접원의 반지름, 방접원 [math]I_{A}[/math]의 반지름이라 하자.
2 간단한 정리
사실 간단하지 않다
- 세르보어 정리
[math]O[/math]에서 변 [math]\overline{BC}[/math]에 내린 수선의 발을 [math]D[/math]라 할 때, [math]\overline{AH}=2\overline{OD}[/math]이다. - 등각켤레
[math]\angle BAO=\angle CAH[/math] - 수선의 발과 공원점
[math]A[/math], [math]B[/math]에서 변 [math]\overline{BC}[/math], [math]\overline{CA}[/math]에 내린 수선의 발을 각각 [math]D[/math], [math]E[/math]라 할 때, [math]\left(A,B,D,E\right)[/math]와 [math]\left(C,E,H,D\right)[/math]는 공원점이다. - 각각 점 [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math]를 지나고, 한 점에서 만나는 세 직선을 그리자. 이 직선들의 교점을 [math]X[/math]라 하자. [math]X[/math]에서 각 변에 내린 수선의 발을 [math]D[/math], [math]E[/math], [math]F[/math]라 할 때, [math]\overline{XD}+\overline{XE}+\overline{XF}[/math]가 최소인 점 [math]X[/math]는 [math]H[/math]다.
그럴듯하다그런데 쓰이지는 않는다 - [math]\triangle ABC[/math]의 수족 삼각형의 내심은 [math]H[/math]다.
- [math]A[/math], [math]I[/math], [math]I_{A}[/math]는 공선점(일직선)이다.
- [math]\triangle ABC[/math]의 방심들이 이루는 삼각형의 수심은 [math]I[/math]다. (삼각형의 내심과 방심은 수심조이다.)
- ([math]A[/math], [math]B[/math], [math]I_{A}[/math], [math]I_{B}[/math])는 공원점이다.
- 멘션 정리
삼각형 [math]\triangle ABC[/math]의 외접원 [math]K[/math]와 반직선 [math]\overline{AI}[/math]의 교점을 [math]D[/math]라 하자. 이 때 [math]\overline{DB}=\overline{DC}=\overline{DI}=\overline{D{I_{A}}}[/math]다. - [math]S\left(\triangle ABC\right)=r\left(a+b+c\right)/2[/math]이다.
- 반직선 [math]\vec{AI}[/math]와 변 [math]\overline{BC}[/math]의 교점을 [math]K[/math]라 하면, [math]\overline{AI}/\overline{KI}=\left(b+c\right)/a[/math]이다.
- 삼각형 내부의 점 [math]P[/math]에서 [math]\overline{BC}[/math], [math]\overline{CA}[/math], [math]\overline{AB}[/math]에 내린 수선의 발을 각각 [math]D[/math], [math]E[/math], [math]F[/math]라 하면 [math]\overline{BC}/\overline{PD} + \overline{CA}/\overline{PE}+\overline{AB}/\overline{PF}[/math]의 값이 최소인 점 [math]P[/math]는 [math]I[/math]이다.
쓸데없다 - [math]S=\frac{abc}{4R}[/math]
- 삼각형 내부의 점 [math]P[/math]에서 [math]\overline{BC}[/math], [math]\overline{CA}[/math], [math]\overline{AB}[/math]에 내린 수선의 발을 각각 [math]D[/math], [math]E[/math], [math]F[/math]라 하면, [math]\overline{PD}\cdot\overline{PE}\cdot\overline{PF}[/math]가 최댓값인 점 [math]P[/math]는 [math]G[/math]이다.
- 이 때 [math]S\left(\triangle ABC\right)=r_{A}\left(b+c-a\right)/2[/math]
- [math]\overline{OI}^2=R^2-2Rr[/math]
3 보통 정리
- 라이프니츠 정리
[math]P[/math]가 삼각형 [math]ABC[/math]와 같은 평면 위의 임의의 한 점일 때, 다음 정리가 성립한다.- [math]\overline{AP}^2 + \overline{BP}^2 + \overline{CP}^2 = \overline{AG}^2 + \overline{BG}^2 + \overline{CG}^2 + 3\overline{PG}^2[/math]
- [math]\overline{GA}^2 + \overline{GB}^2 + \overline{GC}^2 = \left(\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2\right)/3[/math]
- 오일러 직선
[math]O[/math], [math]G[/math], 구점원의 중심 [math]V[/math], [math]H[/math]가 공선점(일직선)이다.
[math]\overline{OG} : \overline{GV} : \overline{VH} = 2 : 1 : 3[/math]이다. - 삼각형의 면적은 방심 삼각형과 내접원의 접점 삼각형 면적의 등비중항이다.
- 삼각형의 방심 삼각형과 내접원의 접점 삼각형의 오일러 직선이 일치한다.
- 삼각형 [math]\triangle ABC[/math]의 임의의 점 [math]P[/math]에서 내린 수선의 발을 각각 [math]D[/math], [math]E[/math], [math]F[/math]라 할 때, [math]S\left(\triangle DEF\right)/S\left(\triangle ABC\right) =\frac{\left|R^2 - OI^2\right|}{4R^{2}}[/math]이다.
- - 그밖에도 나겔 정리, 제르곤 정리, 페르마 포인트 관련 문제 등이 있다.
4 어려운 정리
고등부 KMO나 IMO를 할 때 쓰게 될 것이다(...)
- 포이어바흐 정리
구점원은 삼각형의 내접원, 세 방접원과 접한다. (증명은 반전기하(inversion)을 사용한다.) - Mixtilinear Circle
- 삼각형 [math]\triangle ABC[/math]의 외접원과 두 변 [math]\overline{AB}[/math], [math]\overline{AC}[/math]와 접하는 원 [math]Q[/math]를 잡자. [math]Q[/math]와 [math]\overline{AB}[/math], [math]\overline{AC}[/math]의 교점을 각각 [math]M[/math], [math]N[/math]이라 하면, [math]\overline{MN}[/math]의 중점은 [math]I[/math]이다.
- 그 밖의 여러 정리가 있다. 공원점도 나오고...
- 손철문 정리
hand iron door's theory
주어진 [math]\triangle ABC[/math]와 오심 중 하나인 점 [math]P[/math]가 있다. 이 때, 임의의 [math]P[/math]를 지나는 직선이 직선 [math]AB[/math], [math]AC[/math]와 만나는 점을 각각 [math]M[/math], [math]N[/math]이라 할 때, [math]\overline{AM}[/math]의 길이와 [math]\overline{AN}[/math]의 길이의 관계식은 다음과 같다.- [math]P[/math]가 내심일 때: [math]\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} \cdot \sin B + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} \cdot \sin C = \sin A + \sin B + \sin C[/math].
- [math]P[/math]가 외심일 때: [math]\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} \cdot \sin 2B + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} \cdot \sin 2C = \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C[/math].
- [math]P[/math]가 수심일 때: [math]\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} \cdot \tan B + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} \cdot \tan C = \tan A + \tan B + \tan C[/math].
- [math]P[/math]가 직선 [math]BC[/math]에 대하여 점 [math]A[/math]와 다른 방향에 있는 방심일 때: [math]\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} \cdot \sin B + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} \cdot \sin C = -\sin A + \sin B + \sin C[/math].
- [math]P[/math]가 무게중심일 때: [math]\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AM}} + \dfrac{\overline{AC}}{\overline{AN}} = 3[/math].
- - 그밖에 올림피아드에 쓰이는 정리들에는 미쿠엘 포인트(칠점공선, 9점까지 확장이 가능하다), Pole&Polar(극, 극선), , 근축&근심(육점공선 포함), isogonal - congujate & Symmedian(대칭중심), 메넬라우스&체바 응용, 파푸스 정리
파푸스의 중선 정리가 아니다, 파스칼 정리, 브리앙숀 정리, 데자르그 정리, Monge's Theorem, 조화점열(Harmonic point), 조화사각형, 아폴로니우스의 원(이 세 개는 비조화비) 등이 있다(...)
위의 정리들을 다 이해하고 암기하면 당신도 서울대 수학과를 갈 수 있다!! 당연히 아니다 올림피아드는 수능과 별 연관이없다
경시준비 거 다 필요 없어!