초월수

1 개요

Transcendental Number

정수[1] 계수로만 이뤄진 유한 차수 다항식의 해가 될 수 없는 수들을 초월수라고 한다. 반대로 해가 될 수 있는 수는 '대수적인 수(algebraic number)'라고 한다. 즉, 대수적인 수가 아닌 수가 초월수 이다.

우리가 잘 아는 수 중에서 초월수는 [math]\pi[/math], [math]e[/math] 등이 있다. 반대로, [math]x^2-2 = 0[/math]의 해 중 하나는 [math]\sqrt{2}[/math]이므로 [math]\sqrt{2}[/math]는 무리수이지만 초월수는 아니다. 또한, 초월수 같지만 초월수가 아닌 수로는 [math]\sin{\displaystyle \frac{\pi}{17}}[/math]가 있다.[2] 단위길이가 주어졌을 때, 초월수배만큼 늘리는 작도는 할 수 없다. 그래서 대수적 수 전부를 작도할 수 있는 것은 아니다. 실수에서만 서술해서 그렇지 복소수에까지 적용된다. [math]i = \sqrt{-1}[/math]는 [math]x^2+1 = 0[/math] 의 해기 때문에 초월수가 아니다. 그렇지만 [math]e + \pi i[/math] 같은 수는 초월수다.

초월수의 개수(cardinal number)는 대수적인 수보다 훨씬 많다. 전자는 셀 수 없고 후자는 셀 수 있으니까.[3] 초한기수 항목 참고.

특이한 경우로는, 소수점 자릿수에 규칙이 있지만, 대수적으로는 못 구하는 경우도 있다. 이런 경우도 무리수인데다 초월수다. 예를 들어서 0.12345678910111213141516171819... 같은 경우에는 누구나 보면 언뜻 유리수처럼 보이지만... 무리수다. 이런 것과 관련해 다양한 바리에이션이 존재한다. 소수를 적는 진법에 따라 다른 경우로, 0.11011100101110111100010011010...(2)가 있다. (2)의 의미는 이 숫자가 2진법으로 쓰여져 있다는 것이다.[4] 또 다른 경우로는 0.235711131719232931...이 있는데, 눈치챘나? 소수만 나열해 놓은 경우다.(코프랜드-에르되스 상수)

힐베르트의 23가지 문제 중 하나는 [math]a^b[/math] 꼴의 수가 초월수임을 판정하는 방법에 관한 것이었다. 이 문제는 문제가 발표되고 몇 년만에 해결되었는데, 지금은 아래와 같이 서술되는 겔폰트-슈나이더 정리로 불린다.

[math]a^b[/math]에서 [math]a[/math]가 0 또는 1이 아닌 대수적 수이고(복소수라도 상관 없음), [math]b[/math]가 유리수가 아닌 대수적 수라면(복소수라도 상관 없음)라면, [math]a^b[/math]는 초월수이다. 여기서 대수적 수는 유한차 유리수 계수 방정식의 해가 되는 수를 말한다.

따라서 [math]2^{\sqrt{2}}[/math][5], [math]e^{\pi}[/math] (= [math](-1) ^{-i}[/math] ) 같은 수는 초월수다. 반면, [math]\pi^e[/math] 는 아직 무리수인지도 판정하지 못했다.([math]\pi[/math]가 대수적 수가 아니어서 위 정리를 적용할 수 없다.)

한편 무리수무리수=유리수는 로그를 갖고도 가능하다. 이를테면 [math]e^{\ln{10}} = \pi^{\log_\pi 10} = 10[/math] 당연한 건가??

초월수의 정의가 유한 개의 항으로 표현할 수 없는 수라고 한 것에 주의하자. 무한 개의 항이라면, [math]e[/math]와 [math]\pi[/math]도 다음과 같이 대수적 표현이 가능하다.
[math]e= \displaystyle \sum^{\infty}_{n=0}\frac{1}{n!} [/math]
[math]\pi= \displaystyle \sum^{\infty}_{n=1}\frac{4(-1)^{n-1}}{2n-1} [/math]

의외로 사람들이 헷갈려하는 오개념 중 하나인데, 대수적 수와 초월수는 무리수의 하위 분류가 아니다. [6] 대수적 수라는 말은 정수 계수의 방정식으로 나올 수 있는 해를 말하고, 초월수는 그렇지 못한 수기 때문에 대수적 수는 모든 수 체계의 수가 될 수 있고, 초월수는 하다못해 [math]\pi i[/math]같은 복소수도 포함시킬 수 있다. 단, 실수 범위 내로 한정시키면 유리수인 초월수라는 것은 있을 수 없기 때문에 실수인 초월수는 모두 무리수이긴 하다.

2 참고항목

  1. ↑ 유리수(rational number)라고도 서술하지만, 분모의 최소공배수를 곱하면 다 정수가 되니까 그게 그 말이다.
  2. ↑ 정17각형을 작도할 수 있다는 얘기를 들어봤을 것이다. [math]\sin{\displaystyle \frac{\pi}{17}}[/math]의 실제 값은 [math]\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{8} {{ \sqrt{17 - \sqrt{17} - \sqrt{2} \left( \sqrt{34 + 6 \sqrt{17} + \sqrt{2} \left( \sqrt{17} - 1 \right) \sqrt{17 - \sqrt{17}} - 8 \sqrt{2} \sqrt{17 - \sqrt{17}}} + \sqrt{17 - \sqrt{17}} \right) }}}[/math]여서 굉장히 복잡하게 보이지만 한눈에 척 봐도 초월수가 아님을 알 수 있다.
  3. ↑ 좀 더 자세한 내용을 알고 싶으면 countable set 에 관한 내용을 찾아볼 것. 유리수가 셀 수 있는 이유와 무리수가 셀 수 없는 이유를 찾아보는 것도 좋다. 증명은 조금 과장해서 말하면 중학생도 이해 가능한 수준
  4. ↑ 이렇게 소수점 이하에서 해당 진법으로 표시된 자연수를 순서대로 무한히 나열하는 방식으로 만든 초월수를 섐퍼나운 상수(Champernowne constant)라 한다. D.G.섐퍼나운이라는 영국의 수학자 겸 경제학자가 창안한 것.
  5. ↑ 겔폰트-슈나이더 상수라고 한다. 이 수는 무리수를 무리수 거듭제곱해서 유리수가 나온다는 것을 보인 최초의 수이다. 짐작했겠지만 굳이 풀어보자면 [math]\left( 2^{\sqrt{2}} \right) ^{\sqrt{2}} = 2^{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = 2^2 = 4[/math]이고, 이 식 전체에 제곱근을 씌우면 겔폰트가 의도한 식이 나온다. [math]({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}*\sqrt{2}}={\sqrt{2}^2}=2[/math]
  6. ↑ 굳이 나눠야 한다면 '대수적인 무리수'와 '초월수인 무리수'로 나누는 것은 가능하다.